用矩阵解决《大代数》某例题

《大代数》是著名数学家哈代的科普作品,里面有一些题目非常有意思,作者考虑到中学生的知识水平,用了初等代数变换来处理。其实,涉及多变量齐次关系的时候,矩阵是一个有力的工具,现在就用一个书中的例题加以说明,并且其命题可以得到推广,得到n个变元的普遍情形。
以下例题,形式上是对偶的,即有3个比值相等,x,y,z居于分子, l,m,n居于分母,有意思的是,将x,y,z和l,m,n对调,等式依然成立,也就是说这种关系是对称的。证明过程,关键一点是转为逆矩阵考虑。最后,我将等式推广到任意n个变元的情形,这在矩阵代数而言是非常简单的推广,而若是要以初等方法推广,恐怕难免要陷入复杂的细节之中。解题过程中,我还以一个体会,就是可以讲式子打包换元则应该尽量这样做,以提高思维的速度和准确性。
另外我发现《大代数》的习题为了追求一种形式上的训练,有些题目不太注重边界情况的讨论,有可能造成一些奇异现象,这是读者需要注意的。

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